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Maths Exercices

Matriz inversa
Si tenemos una matriz cuadrada Anxn, su inversa será otra matriz cuadrada de dimensión n, a la que llamaremos A-1 y se cumplirá que:

A-1·A = A·A-1 = I, donde I es la matriz identidad de orden n.

Requisito para que una matriz cuadrada Anxn tenga inverssa:

Una matriz cuadrada Anxn tiene inversa si y solo si su determinante es no nulo, es decir, cuando |A| 0.
Cuando una matriz A tiene inversa, se le llama invertible.


Cómo calcular la inversa de una matriz.

Método 1: Por determinantes.

Utilizando la fórmula

matriz inversa por la matriz de adjuntos, donde

At = matriz traspuesta de A

Adj(At) = matriz adjunta de At

|A| = determinante de A

Calcula la matriz inversa de:

\begin{equation} A = \begin{pmatrix} 2&1&-2\\1&1&-2\\-1&0&1\end{pmatrix} \end{equation}

Solución:

La matriz adjunta es:


\begin{equation} Adj(A) = \begin{pmatrix} 1&1&1\\-1&0&-1\\0&2&1\end{pmatrix} \end{equation}

y su traspuesta es:


\begin{equation} (Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 1&-1&0\\1&0&2\\1&-1&1\end{pmatrix} \end{equation}

y como \begin{equation} |A| = \begin{vmatrix} 2&1&-2\\1&1&-2\\-1&0&1\end{vmatrix} = 1 \end{equation}
La matriz inversa de A es A-1= matriz inversa



Método 2: Método de Gauss-Jordan

This method can be done by augmenting the square matrix with the identity matrix of the same dimensions (A|I) and then:

  1. Carry out Gaussian elimination to get the matrix on the left to upper-triangular form. Check that there are no zeros on the digaonal (otherwise there is no inverse and we say A is singular).

  2. Working from bottom to top and right to left, use row operations to create zeros above the diagonal as well, until the matrix on the left is diagonal.

  3. Divide each row by a constant so that the matrix on the left becomes the identity matrix.

    Once this is complete, so we have (I|A-1), the matrix on the right is our inverse.

Calcula la inversa de la matriz

\begin{equation} A = \begin{pmatrix} 2&1&-2\\1&1&-2\\-1&0&1\end{pmatrix} \end{equation}

Solución:

matriz inversa

La matriz inversa de A es A-1= matriz inversa



Calculata la inversa de la siguiente matriz:

     A-1 =