Matriz inversa
Si tenemos una matriz cuadrada A
nxn, su
inversa será otra matriz cuadrada de dimensión n, a la que llamaremos A
-1 y se cumplirá que:
A-1·A = A·A-1 = I, donde I es la matriz identidad de orden n.
Requisito para que una matriz cuadrada Anxn tenga inverssa:
Una matriz cuadrada Anxn tiene inversa si y solo si su determinante es no nulo, es decir, cuando |A| ≠ 0.
Cuando una matriz A tiene inversa, se le llama invertible.
Cómo calcular la inversa de una matriz.
Método 1: Por determinantes.
Utilizando la fórmula
, donde
At = matriz traspuesta de A
Adj(At) = matriz adjunta de At
|A| = determinante de A
Calcula la matriz inversa de:
\begin{equation} A = \begin{pmatrix} 2&1&-2\\1&1&-2\\-1&0&1\end{pmatrix} \end{equation}
Solución:
La matriz adjunta es:
\begin{equation} Adj(A) = \begin{pmatrix} 1&1&1\\-1&0&-1\\0&2&1\end{pmatrix} \end{equation}
y su traspuesta es:
\begin{equation} (Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 1&-1&0\\1&0&2\\1&-1&1\end{pmatrix} \end{equation}
y como \begin{equation} |A| = \begin{vmatrix} 2&1&-2\\1&1&-2\\-1&0&1\end{vmatrix} = 1 \end{equation}
La matriz inversa de A es A-1= 
Método 2: Método de Gauss-Jordan
This method can be done by augmenting the square matrix with the identity matrix of the same dimensions (A|I) and then:
- Carry out Gaussian elimination to get the matrix on the left to upper-triangular form. Check
that there are no zeros on the digaonal (otherwise there is no inverse and we say A is singular).
- Working from bottom to top and right to left, use row operations to create zeros above the diagonal as well, until the matrix on the left is diagonal.
- Divide each row by a constant so that the matrix on the left becomes the identity matrix.
Once this is complete, so we have (I|A-1), the matrix on the right is our inverse.
Calcula la inversa de la matriz
\begin{equation} A = \begin{pmatrix} 2&1&-2\\1&1&-2\\-1&0&1\end{pmatrix} \end{equation}
Solución:
La matriz inversa de A es A-1=
